prejudice = affect injuriously or detrimentally by a judgment or an act

they can prove they were prejudiced thereby = they can prove they were prejudiced by that failure

√ thereby bermakna (Kamus Oxford): by that means; as a result of that, singkat kata: oleh karena itu.

Saya sekata dengan Ros: karena ini teks hukum, itu harus diberi rujukan yang pasti. Jelaslah dari naskah bahwa kata ini merujuk ke failure to give prompt notice.

√ IMO, makna failure yang pas di sini adalah kelalaian [menjalankan tugas / kewajiban], sebagaimana definisi Oxford berikut: failure: the neglect or omission of expected or required action, sehiangga menghasilkan:

...kecuali sejauh mereka dapat membuktikan bahwa mereka dirugikan oleh kelalaian tersebut.

REFERENSI ★★★★★
http://id.scribd.com/doc/22040447/All-About-Informed-Consent
Saling setuju dalam kontrak terapetik ... menegaskan bahwa antara dokter dan pasien sudah 'deal' untuk melakukan hubungan atau ikatan... berdasarkan peraturan-peraturan tersebut di atas dapat dijatuhi sanksi hukum maupun sanksi administratif apabila pasien dirugikan oleh kelalaian tersebut.

IMHO

Saya mencoba untuk merangkai kalimat agar lebih jelas(sebab-akibat dan subjek-objek):

....., kecuali mereka mampu membuktikan lantaran mereka telah menderita kerugian dari pihak yang ditanggung akibat keteledoran penyampaian pemberitahuan tersebut.

IMHO